Matemática - Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS NUMÉRICOS

 

·       Conjunto dos números naturais (IN)

	IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

 

 

 

 Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:

IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} à o zero foi excluído do conjunto IN.

Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:

 

·       Conjunto dos números inteiros (Z)

 

	Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

 

 

 O conjunto IN é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z-{0}

Z₊ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

 

Observe que Z₊=IN.

Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:

·       Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Î Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.

Exemplos de números racionais:

• ⁴⁄₁ = 4 (números inteiros);
• ³⁄₁₀₀ = 0,03 (números decimais exatos);
• ⁵⁄₃ = 1,6666… (dízimas periódicas).

Assim, podemos escrever:

A fração a/b, sendo a o numerador e b o denominador, se o MDC de a e b for 1, então temos que a e b são primos entre si, logo a/b é uma fração irredutível.

Exemplo de frações irredutíveis: ¹⁄₃; ⁴⁄₅; ²⁄₇

Números decimais

Todo número racional a/b, com b ≠ 0, podemos representá-lo como um número decimal. Para transformar um número racional para um número decimal dividimos o número inteiro a pelo número inteiro b. Nessa transformação dois casos podem ocorrer:

• O número decimal ter uma quantidade finita e exata de algarismos;
  • Exemplo: ⁵⁄₁ = 5; ¹⁄₂ = 0,5; ¹⁄₁₀ = 0,1
• O número decimal ter uma quantidade infinita de algarismos e formar uma dízima periódica.
• Exemplo: ²⁄₃ = 0,6666…; ⁵⁄₃ = 1,6666…

·       Conjunto dos números irracionais

 Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 5:

√2 = 1,41421356237309…

√5 = 2,23606797749978…

Um número irracional bastante conhecido é o número p=3,1415926535...

 

·       Conjunto dos números reais (IR)

 

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:

	IR=Q È {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}

 

 

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

         IR* = IR-{0}

         IR₊ = conjunto dos números reais não negativos

IR_ = conjunto dos números reais não positivos

 

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

·        Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ;  1,1 ;  1,2  ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

 

·        Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ;  5,1 ;  5,2  ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

Veja o vídeo:

Fonte: Só Matemática  e  Matemática Básica